у вас, похоже, есть проблема с stdout, так как именно там Cron решает отправлять электронную почту на нет. Если нет вывода, то cron не отправляет электронное письмо.
Я бы предпочел поместить все в скрипт следующим образом:
echo "Mobile Backup has started!" tar -zvcf /home/backups/sql/01_MondaySQL.tgz /home/mysql/automysqlbackup > /home/report.txt mail -s 'backup Report' example@gmail.com < /home/report.txt
и ваш хрон просто назвал бы этот сценарий.