Ответ взят из: https://stackoverflow.com/q/229551/1540660
string='a needle in a haystack' if [[ $string = *"a needle"* ]]; then echo "It's there!" fi
Обратите внимание, что пробелы в строке иглы должны быть помещены между двойными кавычками, а подстановочные знаки * должны быть снаружи.
Адаптировано к вашему случаю:
VAR_EXIST=$(command) if [[ $VAR_EXIST = *"$DATABASE_NAME"* ]]; then echo "DB exists!" fi