Обойдя несколько отделов в моей компании и попробовав несколько возможных решений, я наконец нашел проблему:
Режим просмотра Internet Explorer InPrivate несовместим с хранилищем приложений Silverlight.
После отключения режима InPrivate приложение работало корректно. Я предполагаю, что InPrivate не позволяет Silverlight сохранять что-либо в хранилище приложений.