cat
вернет 0 (ноль) в случае успеха.
Согласно ssh
инструкции:
СТАТУС ВЫХОДА
ssh exits with the exit status of the remote command or with 255 if an error occurred.
Итак, в вашем случае достаточно
cat some_lines_to_append.txt | ssh user@example.com 'cat >> all_lines_collected.txt' && rm some_lines_to_append.txt || echo 'Error occurred.'