Есть ли способ отправить письмо даже при большой нагрузке на машину?
Это не то, что вы можете исправить из своего скрипта Perl. Поведение sendmail при высокой нагрузке зависит от конфигурации sendmails, что означает, что вам нужно либо исправить это, либо убедиться, что на машине нет высокой нагрузки.
В качестве альтернативы вы можете поиграть с различными вариантами отправки почты, как описано в документации, чтобы посмотреть, можно ли обойти ограничения нагрузки.