Вероятно, все, что вам нужно, это закомментировать следующую (или похожую) строку в вашем /etc/rsyslog.conf:
syslog.* /var/log/syslog
Или уменьшите его до более ограничивающего уровня, например, warn или err:
syslog.err /var/log/syslog
Полный список приоритетных ключевых слов см. В «man rsyslog.conf».