Это действительно больше вопрос AD, чем вопрос SQL, но ...
С кем работает приложение и что вы пытаетесь сделать?
Указывая, что DOMAIN \ computername $ имеет полные разрешения, вы подразумеваете, что LocalSystem (NT Authority \ System) или NetworkService - это учетная запись, которая будет запускать этот процесс.
http://msdn.microsoft.com/en-us/library/ms684190%28VS.85%29.aspx
(Обычно рекомендуется использовать служебную учетную запись или предоставлять разрешения для отдельных учетных записей.)
Если вы указали, что вместо этого процесс выполняется как LocalService, он не передает учетные данные компьютера.