Ваши звонки date
должны быть в кавычках:
mysqldump -e --user=root --password=MYPASSWORD MYDB | gzip | uuencode db_`date "%Y-\%m-%d"`.gz | mail -s `date +"%Y-\%m-%d"`_dump john@example.com
Обратные кавычки говорят оболочке запустить комментарий в кавычках и вставить его вывод в командную строку.