Я решил проблему. Было неправильно устанавливать экземпляр RDS как «общедоступный» - я предполагал, что это означает «прослушивать в сети», но я должен был понять, что это не может быть правдой.
Когда экземпляры RDS являются «общедоступными», это заставляет Windows преобразовывать DNS-имя во внешний (публичный) IP-адрес, что приводит к путанице в маршрутизации. При отключении общедоступной доступности запись DNS преобразуется в частный IP-адрес, и все в порядке.