Это больше похоже на то, что сам VPN пропадает, чем проблема DNS. Если вы пропингуете IP-адрес, к которому вы подключаетесь, есть ли потерянные пакеты?
После перерывов в DNS вы можете подключиться к чему-то на сайте VPN по локальному IP-адресу, а не по DNS-имени?
У вас есть введенная вручную запись DNS или она доставляется через DHCP как в вашей локальной сети, так и в сети VPN?