Похоже, вы хотели, чтобы ваша топология DNS была такой:
Клиенты> Маршрутизатор> RaspberryPi
Это должно работать для вашей локальной сети, если на RPi правильно настроен восходящий DNS. Существует проект под названием pi-hole, основанный на этой концепции.
REF: https://github.com/pi-hole/pi-hole
Если у вас есть проблемы с вашим маршрутизатором, другой вариант будет указывать ваши клиенты непосредственно на Pi вместо маршрутизатора. Это требует перенастройки всех настроек DNS ваших клиентов, что может быть нежелательно.
В конце вашего поста начинается доступ к общедоступной DNS, в связи с чем возникает вопрос: что вы пытаетесь сделать здесь? Вы хотите, чтобы ваш Pi был в локальной записи DNS или глобальной? Это ОЧЕНЬ разные вещи.
Если вы сделали глобальную DNS-запись для вашего Pi, вам нужно будет настроить переадресацию портов через маршрутизатор, чтобы сделать Pi видимым для общедоступного Интернета. Я должен предостеречь вас от этого как от потенциально фатальной дыры в безопасности. Если бы вы не были специалистом по безопасности, я бы не стал ставить RaspberryPi перед публичным интернетом.
Это будет выглядеть следующим образом: Public DNS (имя домена) -> Ваш публичный IP-адрес (должен быть статическим или DDNS) -> Ваш маршрутизатор (переадресация порта) -> RPi