Для этого вам необходимо иметь доступ к своей электронной почте через соединение IMAP. Если для клиентов веб-почты не предложена специальная опция загрузки в архив (а я не знаком ни с кем, кроме squirrelmail), это единственный вариант AFAIK. Если провайдер предлагает только POP, то вы, по крайней мере, можете архивировать свои сообщения, но вы не сможете импортировать их на новый сервер, если он не поддерживает IMAP.
Узнайте настройки соединения у вашего провайдера и настройте Thunderbird или клиент по вашему выбору. (Я обычно делаю это в Apple Mail.) С помощью IMAP просто скопируйте сообщения из папки на вашем сервере в локальную папку на клиенте, затем перенастройте клиент для нового сервера, а затем скопируйте их обратно.
С POP это немного страннее, поскольку этот протокол только односторонний. Возможно, вам понадобится настроить клиент для загрузки всех ваших старых сообщений, но как только вы это сделаете, у вас будет локальный архив.