В моем случае проблема заключалась в том, что в моем соединении для одного DNS-сервера было установлено значение 127.0.0.1, поскольку у меня был локальный DNS-сервер . Изменение этого в 8.8.8.8 решило проблему.
iTunes выполняет поиск DNS для настроенного устройства AirPlay, и мои настройки сделали этот поиск неудачным.
Мне не удалось заставить AirPlay работать вместе с локальным DNS-сервером, но это другой вопрос.