Этот ключ версии Windows хранится в BIOS?
Меньше, что ключ Windows находится в BIOS, и более того, Win10 использует проверку аппаратного обеспечения для активации на данном компьютере. На вашем ноутбуке была установлена только Win10 Home, и он активирован только для этого продукта. Если бы вы купили его с Win10 Pro, то же самое применимо и наоборот; вы не сможете перейти на версию Home.
но на этот раз он не спрашивал, просто установил Windows 10 дома (что?) и в как-то восстановил предыдущий ключ Windows (ключ OEM)
Это будет установочный носитель, проверяющий ваше оборудование на наличие аутентификационных подписей. Он нашел их и загрузил соответствующую версию Windows.
Я думаю, что я переформатировать с Linux, чтобы стереть HD и удалить предыдущую версию Windows.
Это не имеет значения, нет ключа Win10 Pro, связанного с вашим ноутбуком. То же самое, что вы подробно описали в своем вопросе, произойдет снова.
Что я могу сделать, чтобы установить другую версию Windows?
Вы должны купить другую версию Windows, извините. Вы упомянули, что вам это нужно для работы, возможно, ваша работа или школа могут помочь покрыть расходы. Удачи.